二次関数の複雑な作問 - 作問の備忘録

実力テスト作成の際に考えたことなど。

二次関数の問題で、置き換えと解の符号の決定が絡んだ問題を作りたかった。

$(\hspace{2em})^2+2m(\hspace{2em})+(\hspace{2em})=0$ という形の二次方程式になる問題にして、1問目で変域をおさえ、２問目で具体的なmの値に対する解を求めさせ、3問目で4個の実数解を持つ条件を求めさせるようにしようとした。

満たすべき条件を以下のようにした。

１． $y=f(x)をt(x)で置き換えた式が、y=g(t), g(t)=t^2-2mt+am+b(a,bは整数)$ の形であること

２． $m=kのとき、g(t)=t^2-2kt+ak+b$ が簡単な(1桁程度の)整数解 $\alpha,\beta$ をもつこと

３． $t(x)=\alpha,t(x)=\beta$ を満たす $x$ の値が、一方は異なる2つの実数、もう一方は異なる2つの虚数であること

４． $g(t)=0の判別式D_1=m^2-am-b ＞ 0$ ，ただし、絶対不等式になってはいけない。できれば $D_1=0$ が整数解をもってほしいが、簡単な平方根 $\sqrt{R}(R=2,3,5,6)$ ならば含まれてもよい。ただし、ほかの2つの条件(軸、端の値)との大小が比べられなければならない。

２.について、整数解を $\alpha,\beta$ とおくと、

$\alpha+\beta=2k,\alpha\beta=ak+b$

ここでaを2の倍数として、 $a=2p(pは整数)$ とおく。

$\alpha\beta=2kp+b$

$\alpha\beta=p(\alpha+\beta)+b$

$\alpha\beta-p\alpha-p\beta=b$

$(\alpha-p)(\beta-p)=b+p^2$

ここで、 $b+p^2\neq1$ とする。なぜならば、pは整数、 $\alpha,\beta$ を整数とすると、 $\alpha-p=\pm1,\beta-p=\pm1(複号同順)$ となってしまい、 $\alpha=\beta$ になってしまうからだ。

$b+p^2=-1,b+p^2=2,\dots$ といろいろやってみたが、うまくいかなかった。主な理由は、 $\alpha,\beta$ の近さである。

３．の条件を満たすには、 $\alpha,\beta$ の間にある程度の幅がなければならない。

具体的にどれくらい幅があればよいか考えると、

$x^2+4x+c=\alpha,x^2+4x+c=\beta$ のとき、

$x^2+4x+c-\alpha=0,x^2+4x+c-\beta=0$ の判別式をそれぞれ $D_2,D_3$ とすると、

$D_2=4-c+\alpha,D_3=4-c+\beta$

$D_2 ＜ 0,D_3 ＞ 0$ とすると、

$\alpha ＜ c-4 ＜ \beta$

整数 $c$ を決定するには、 $\alpha,\beta$ の間に３ぐらいの余裕は欲しい。

さてここで、４．の条件を満たすことを考えると、 $m^2-am-b ＞ 0$ である。ただし、 $m$ の値によらず成り立ってはいけない。

$m^2-am-b=0$ の判別式を $D_4$ とすると、

$D_4=a^2+4b ＞ 0$

$a=2pであり、b+p^2=qとすると、$

$(2p)^2 ＞ -4(q-p^2)$

$0 ＜ q$

４．の条件は、 $b+q^2$ を正の数にしておけばある程度クリアできることが分かる。

いろいろ試してみて、 $b+p^2=5,p=4$ とした。

このとき、 $a=2p=8,b=5-p^2=-11$

$(\alpha-p)(\beta-p)=b+p^2$ に代入して、

$(\alpha-4)(\beta-4)=5で、\alpha ＜ \beta$ として、

$(\alpha-4,\beta-4)=(1, 5),(-5, -1)$

$\alpha-4=1,\beta-4=5$ とすると、 $\alpha=5,\beta=9$

また、 $\alpha+\beta=14=2k,k=7$

つまり、 $m=7のとき、t^2-2mt+8m-11=0は整数解t=5,9をもつ。$

これで $t(x)$ が自然な式になってくれているか、２．の条件を満たしているかを確認する。

$t=x^2+4x+c$ とおいてある。ちなみに、xの係数が4なのは、頂点の座標を整数にしたかったからだ。頂点のx座標が整数でないと、t座標も連動して整数でなくなる。すると、tの変域に整数以外の数が現れることになり、これが最後の小問「○○より大きい異なる2つの実数解」という条件を考える際に支障をきたす。cに整数以外をもってこれば調整はできるが、そうすると最初に問題として与える式が煩雑になる。