互除法の作問
「」のような問題は、に互いに素である整数を選べばいくらでも作れる。
しかし問題作成者の立場で考えると、それが「何行の計算で終わるのか」が重要になってくる。
互いに素である整数について、互除法をしたときに1に到達するまでの式の行数をここでは畳数と呼び、と書くことにする。
例えば、3と2の場合、で、,
である。
a,bに求める条件は、
1.3桁以下の整数である。
2.畳数が3以下である。
最も簡単に作るには、1からスタートして単純に足し算を繰り返せばよい。
要はフィボナッチ数列を考えればよいのだ。
フィボナッチ数列の隣り合う2つの項は、必ず互いに素、畳数になる。
つまり、8と5にすればよい。
畳数3程度ならば、excelなどでごり押してもよいと思うが、
畳数が常に3になるような2つの式を作ることが理想である。
フィボナッチ数列の2項は式で表せるのだから、できないことはないと思う。