作問の備忘録

テスト問題を作るときの、大した計算ではないけれども、やろうと思うとめんどくさいことどもを記録。

余弦定理の作問(角度を求めなくてよい場合)

例えば、△ABCの3辺から余弦を求めさせて、正弦、面積を求めさせる問題では、有名角を用いる必要はないので、作問は楽になる。

しかし、余弦を求める際のハードルはなるべく下げておきたい。

1.三角形の3辺はすべて整数。

2.余弦を求めたとき、分母が2桁以上にならない。

以上を満たす3辺の組を考える。

 

 \cos{C}=\frac{n}{m} (m,nは1桁の自然数,n,mは互いに素,n < m)とおく。

 c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}

 c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \frac{n}{m}

 mc^2=ma^2+mb^2-2nab

 ma^2-2nba+m(b^2-c^2)=0

 a=\frac{nb \pm \sqrt{n^2b^2-m^2(b^2-c^2)}}{m}

 a=\frac{n}{m}b\pm\sqrt{(c^2-b^2)-(\frac{n}{m}b)^2}

ここで、bがmの倍数として、 \frac{n}{m}b=pとすると、

 a=p\pm\sqrt{c^2-(b^2+p^2)}

 

これを満たすp,b,cを作ればよいが面倒そうなので、余弦を求める分数がうまく割り切れるのはどういう時か考えてみる。

例えば、3辺が n,n+1,n+2となる場合は単純な分数になる。

なぜならば、

 \cos{C}=\frac{n^2+(n+1)^2-(n+2)^2}{2n(n+1)}

 \hspace{2em} =\frac{n^2-2n-3}{2n(n+1)}

 \hspace{2em} =\frac{(n-3)(n+1)}{2n(n+1)}

\hspace{2em} =\frac{n-3}{2n}

特にnが奇数のときや3の倍数のとき、より簡単な分数になる。

 ちなみに、このとき

 \cos{A}=\frac{n^2+2n+3}{2n(n+2)}

これはnが奇数か3の倍数か3で割ると1余る数のときに約分ができるので、割と簡単な分数にしやすい。

 \cos{B}=\frac{n+5}{2(n+2)}

これもnが奇数のときや3で割って1余る数のとき、より簡単な分数になる。

 

また、3辺が n,n+1,n+2となる場合から一般化して、

3辺が n,n+k,n+2k(kは自然数)としても簡単になることがわかる。