判別式の作問 - 作問の備忘録

「 $x^2+(m+1)x+m=0$ が重解をもつときのmの値とその重解を求めよ。」のような

２次方程式の判別式の問題を作りたい。

作問にあたって満たしたい条件は、

１． $x^2+(m-p)x+c=0 (p,cは整数)$ の形であること

２．判別式からなる２次方程式を解いたときの解が整数であること

$x^2+(m-p)x+c=0 (p,cは整数)$ から、

$(m-p)^2-4c=0 が整数解を持てばよい。$

$m^2-2pm+p^2-4c=0$

判別式をDとすると、

$D=(2p)^2-4(p^2-4c)$

$D=16c$

２つの整数解を $\alpha,\beta$ とすると、

$D=(\beta-\alpha)^2=16c$

$\alpha-\beta=\pm4\sqrt c$ 　cは平方数であればよい。

$\sqrt c=q$ とおくと、

$2\alpha=2p\pm4q$

$\alpha=p\pm2q,\beta=p\mp2q$ (複号同順)　ただし、 $p,q,任意の整数,c=q^2$