作問の備忘録

テスト問題を作るときの、大した計算ではないけれども、やろうと思うとめんどくさいことどもを記録。

60°の角をなす空間ベクトルの作問

なす角

１．６０度の角をなす。

２．現れる成分がすべて整数。

を満たす２つのベクトルを作りたい。

平面上ではこのようなベクトルを作ることはできないが、空間上では可能である。

結論としては、

m,nを整数として、

$\vec{a}=(2n-3m,3n-m,n+2m)$

$\vec{b}=(-n-2m,2n-3m,3n-m)$

で無限に生成できる。

方法はごり押しである。

$\vec{a}=(a,b,c),\vec{b}=(d,e,f)$ とおいて、

60°の角をなす条件を整理すると、

$(ae-bd)^2+(af-cd)^2+(bf-ce)^2=3(ad+be+cf)^2$

ここで、左辺の平方されている数がすべて同じ値であると仮定して、

$ae-bd=ad+be+cf$

$a(e-d)=b(e+d)+cf$

さらにここで、 $e-d=f,e+d=c,b=f,a=2c$ とおくと明らかに成立。

$ae-bd=af-cd=bf-ce$ の仮定から連立方程式を解くと、

$f=3c,\frac{d}{2}$

$f=3cのとき、e=2c,d=-c,a=2c,b=3cとなる。$

ちなみに $f=\frac{d}{2}$ のときは式同士が矛盾してうまくいかない。

$\vec{a}=(2c,3c,c),\vec{b}=(-c,2c,3c)$ とすれば条件を満たすことがわかる。

$|\vec{a}|=|\vec{b}|$ を満たすので、 $C(\vec{0}),A(\vec{a}),B(\vec{b})$ は正三角形をなす。

特にc=1のときのみを考えればよい。

$\vec{a}=(2,3,1),\vec{b}=(-1,2,3)$ のとき、この正三角形の各辺を $m:n$ に内分する点をとり、これらをつないでできる正三角形を $m+n$ 倍に拡大すれば、条件を満たすベクトルを無限に作ることができる。

よって、

$\vec{a}=(2n-3m,3n-m,n+2m), \vec{b}=(-n-2m,2n-3m,3n-m)$

とすればよい。

もちろんこれは $\vec{a}=(2,3,1),\vec{b}=(-1,2,3)$ の張る平面上のものしか作れないので必要十分条件ではないが、作問には十分だろう。