half-versineの定理 - 作問の備忘録

yahoo知恵袋で回答した内容をもう一度まとめる。

これは球面三角法における定理で、航海をするときの技術だった。

versineとは、 $1-\cos\theta$ のことで、和算においては矢と呼ばれた。

half-versineは、これの半分 $\frac{1-\cos\theta}{2}$ で、

つまり $\sin^2\frac{\theta}{2}$ のことである。

あえて日本語にするなら半矢だろうか。弓道と紛らわしいが。

球面上の2点A,Bに対し、2点を通る大円上での距離を求めたい。

分かっているものは，2地点の緯度、経度、球の半径rである。

大円上の弧ABに対する中心角を $\theta$ とすると、 $\theta = \frac{d}{r}$ とおける。

ここから $\theta$ に対するhalf-versineを球面三角法における余弦定理を用いて求めることができる。

以下、単位球面上で考える。

球面三角形ABCにおいて、3辺AB,CA,ABの長さを $a, b, c$ とする。

これらは弧の長さなので、単位球面上において中心角(ラジアン)と一致する。

ここで、弧ABを含む大円と弧ACを含む大円がなす角を $\alpha$ とすると、

$\cos(a) =\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(\alpha)$

さて、これをhalf-versineに書き換えると、

$hav\theta=\frac{1-\cos\theta}{2}$ から、

$\cos\theta=1-2hav\theta$

$1-2hav(a)=\{1-2hav(b)\}\{1-2hav(c)\}+\sin(b)\sin(c)\{1-2hav(\alpha)\}$

$1-2hav(a)=1-2\{hav(b)+hav(c)\}+4hav(b)hav(c)+\sin(b)\sin(c)-2\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$-2hav(a)=-2\{hav(b)+hav(c)\}+4hav(b)hav(c)+\sin(b)\sin(c)-2\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\{hav(b)+hav(c)\}-\frac{1}{2}\{4hav(b)hav(c)+\sin(b)\sin(c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\{hav(b)+hav(c)\}-\frac{1}{2}\{(1-\cos(b))(1-\cos(c))+\sin(b)\sin(c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\{hav(b)+hav(c)\}-\frac{1}{2}\{1-\cos(b)-\cos(c)+\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\{hav(b)+hav(c)\}-\frac{1}{2}\{1-\cos(b)+1-1-\cos(c)+\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\{hav(b)+hav(c)\}-\frac{1}{2}\{1-\cos(b)+1-\cos(c)-1+\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\{hav(b)+hav(c)\}-hav(b)-hav(c)-\frac{1}{2}\{-1+\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\frac{1}{2}\{1-(\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c))\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=\frac{1}{2}\{1-\cos(b-c)\}+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

$hav(a)=hav(b-c)+\sin(b)\sin(c)hav(\alpha)$

これをさっきの2点A,Bに対応させる。A,Bの緯度をそれぞれ $\phi_1,\phi_2$ ,経度を $\lambda_1, \lambda_2$ とすると、

$a=\theta ,b=\frac{\pi}{2}-\phi_2,c=\frac{\pi}{2}-\phi_1 , \alpha=\lambda_2-\lambda_1$ なので、

$hav(\theta)=hav(\phi_1-\phi_2)+\sin(\frac{\pi}{2}-\phi_2)\sin(\frac{\pi}{2}-\phi_1)hav(\lambda_2-\lambda_1)$

$hav(\theta)=hav(\phi_1-\phi_2)+\cos(\phi_2)\cos(\phi_1)hav(\lambda_2-\lambda_1)$

$hav(\theta)=hav(\phi_2-\phi_1)+\cos(\phi_2)\cos(\phi_1)hav(\lambda_2-\lambda_1)$

つまり、 $\cos \theta$ の表さえあれば $hav(\theta)$ が分かり、さらに $\theta$ が求められるということである。

これが求められれば、 $d=r\theta$ でAB間の距離が求められる。

実際やってみたところ、

東京とスリジャヤワルダナプラコッテとの距離は、

緯度、経度を小数第1位まで、円周率を3.14で雑に計算した場合でも6853km

国土地理院の楕円体仮定の計算で約6858km

十分実用的だ。

しかし、ちょっと待て。

そもそも $\cos(a) =\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(\alpha)$ から直接求めても良かったんじゃないだろうか。

$\cos(\theta) =\cos(\frac{\pi}{2}-\phi_2)\cos(\frac{\pi}{2}-\phi_1 )+\sin(\frac{\pi}{2}-\phi_2)\sin(\frac{\pi}{2}-\phi_1)\cos(\lambda_2-\lambda_1)$

$\cos(\theta) =\sin(\phi_2)\sin(\phi_1 )+\cos(\phi_2)\cos(\phi_1)\cos(\lambda_2-\lambda_1)$

ほぼ同じ答えでたわ。

half-versineにこだわる理由とは一体…

求めやすかったんだろうか。

wikipediaによると、half-versineを使うことで、それまでの $\sin^2\frac{\theta}{2}$ を使わなくて済むようになったことが大きいらしい。

そもそも、 $\cos\theta$ の方は、2点間が近すぎると $\cos\theta=0.999999$ などになって使い物にならなかったので、 $\cos\theta$ より $\sin^2\frac{\theta}{2}$ の方が都合が良かった。