作問の備忘録

テスト問題を作るときの、大した計算ではないけれども、やろうと思うとめんどくさいことどもを記録。

接する放物線

２次方程式・2次関数

先日、

「 $y=ax^2-bmx+pm^2+qm+r$ のグラフがx軸と接するときのmの値と接点の座標を求めよ。」

というタイプの問題を練習させようとしたら、問題集に問題が1問しかなかったので、その場で問題を作った。

そしたら係数の設定をミスってルートが出てきてしまうという失敗をしてしまった。

リベンジを果たすべく、この問題に取り組む。

つまり、a,b,p( $a\neq 0$ )を与えたとき、mが整数となるような丁度良いq,rを求める方法を考える。

何のひねりもなく判別式を求めると、

$D=(b^2-4ap)m^2-4aqm-4ar$

D=0のとき，もちろん $b^2-4ap \neq 0$ として、

$m=\frac{2aq \pm \sqrt{4a^2q^2+4ar(b^2-4ap)}}{b^2-4ap}$

$=\frac{2(aq \pm \sqrt{aq^2+ar(b^2-4ap)})}{b^2-4ap}$

ここで、 $q=b^2-4ap$ と仮定する。

すると、 $\sqrt{　}$ の中身が $(qk)^2$ になってくれるとありがたい。

$a^2q^2+arq=q^2k^2$

$(a^2-k^2)q^2+arq=0$

$q((a^2-k^2)q+ar)=0$

$(a^2-k^2)q+ar=0$

rをqによって決めたいので、

$r=\frac{(k^2-a^2)q}{a}$

結局、

$a,b,p 任意, q=b^2-4ap, r=\frac{(k^2-a^2)q}{a},kは整数$ とすればよい。

これにより定まるmの値は $m=2(a \pm k)$ で偶数。接点のx座標は

$x=\frac{bm}{2a}$ なので、このとき接点の座標は常に整数になる。