60度の角をもつ整数辺三角形の作問
次のような条件を満たす余弦定理の問題を作りたい。
1.3辺を与えて角を求める問題。
2.求める角は60度である。
3.3辺はすべて整数である。
4.正三角形は自明として避ける。
5.整数は最大でも16まで。
これらに当てはまる3辺の組を「解」と呼ぶことにする。
として、
から、
とおくと、
< 、またこれらの偶奇は一致する。
あまり良い方法も思いつかないので、しらみつぶしでやることにする。
のとき、
から
このとき、で自明。
のとき、
必ず自明(正三角形)の場合が1つ含まれるので、この時点で打ち切り。
ちなみに、のとき自明である。
なので、
またよって
のとき、
(3,9)の方は自明。
(1,27)のとき、
が求めたい最初の解となる。
ここで、残りのに注目すると、実は(8, 5, 7)も解となる。
60°の場合、1つの解に対し,も解となる。
一般に、を満たすに対し、
と置き換えたものも解となる。
のとき、
自明でないものは、
(2,24)のとき、
から,
しかしこれは有理数なので、2倍に拡大した三角形を考えることで解を求めることができる。
のとき、
の偶奇は一致するので、和の値は必ず偶数になる。
つまり、cの分母は1か2で、このような拡大は2倍の場合のみ考えればよいことが分かる。
(6,8)のとき、
これは2倍すると既出のものと一致する。
となるので、となる。
この先探索を続けると、2桁に突入し、結局条件を満たすものは(8, 3, 7),(8, 5, 7),(15, 8, 13),(15,7,13)ということが分かる。
ちなみに,ここから120°バージョンを作るのは簡単だ。
60°バージョンを解いたときの、負の方の解がそれにあたる。
例えばを求めたときのもう一つのaの値は-5なので、
が120°の方の解になる。
45°や135°の場合
から、もちろんすべてを整数にすることは不可能なので、
とおくと、
ピタゴラス数1組に対し、3辺の組を1つ作ることができることがわかる。