作問の備忘録

テスト問題を作るときの、大した計算ではないけれども、やろうと思うとめんどくさいことどもを記録。

有理化の作問

有理化

分母が何項までなら有理化可能か。

$\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}}$ ただし $a_1,a_2,…,a_n$ は互いに素とする。

３項の場合

２つの項をひとかたまりとして２項のときの有理化をすればよい。

大事なのは、このとき項の種類が減るかどうかである。

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}}$

$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-c}$

$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+2\sqrt{ab}+b-c}$

$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(a+b-c)+2\sqrt{ab}}$

分母は２項になっているので、ここからもう一度２項の有理化をすれば有理化は完了する。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(a+b)+2\sqrt{ab}$

で、この部分の項の個数は変わらないが、残りが ${\sqrt{c}}^2$ でcになるのでトータルで項は３項から２項に必ず減ることになる。

だから、心配せずに好きな数を選べばよい。

４項の場合

前半２項と後半２項でそれぞれひとかたまりとすればよい。

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}$ について、

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(a+b)+2\sqrt{ab}, (\sqrt{c}+\sqrt{d})^2=(c+d)+2\sqrt{cd}$

なので、トータルで４項から３項に減らせる。つまりこれも常に有理化が可能である。

しかし、４項の場合は、分け方が悪いとループにはまる。

３項をひとかたまりとすると、

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=(a+b+c)+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$

で、３項から４項に増え、残りのdを合わせてもトータルで４項から減らないので、終わらなくなってしまう。

５項の場合

$\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})}$

分子を書くのは面倒な上に今回無意味なので、Aと置くことにする。

$\frac{A}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})^2}$

$=\frac{A}{((a+b)+2\sqrt{ab})-((c+d+e)+2\sqrt{cd}+2\sqrt{de}+2\sqrt{ec})}$

根号の外れた部分も面倒なのでまとめてCとおく。分母の真ん中に置くことにする。

$\frac{A}{2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}+C+2\sqrt{de}+2\sqrt{ec}}$

$=\frac{A}{(2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}+C)+(2\sqrt{de}+2\sqrt{ec})}$

$=\frac{A}{4\sqrt{ab}+2(2+e)\sqrt{cd}+C+8\sqrt{abcd}}$

５項から４項になったので有理化可能。

６項になると、うまくいかない。

３つずつ組にしても前半４項、後半４項、そのうちまとめられるのは根号の外れた１つだけなので、トータルで６項から７項になってしまう。

２項と４項に分けても、前半２項、後半は７項となり、結局８項に増えてしまう。

この話は $\sqrt{}$ の中が互いに素であることを前提としているが、含まれる項が $\sqrt{ab},\sqrt{c},\sqrt{a},\sqrt{bc}$ という形になったりすると話はややこしくなってくる。

また、 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 以外の式を利用して有理化ができる可能性はまだ残っている。